Question

10．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1與$\frac{{x}^{3}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同的離心率，則m=6．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線離心率公式變形可得e²=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，對(duì)于題目所給的兩個(gè)雙曲線可得：e₁²=1+$\frac{8}{4}$=3和e₂²=1+$\frac{m}{3}$，兩者離心率相等，可得1+$\frac{m}{3}$=3，解可得m的值，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對(duì)于雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
其離心率e=$\frac{c}{a}$，
則e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
對(duì)于雙曲線$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，其離心率為e₁，則e₁²=1+$\frac{8}{4}$=3，
對(duì)于雙曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，其離心率為e₂，則e₂²=1+$\frac{m}{3}$，
而兩個(gè)雙曲線有相同的離心率，則有1+$\frac{m}{3}$=3，
解可得m=6；
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，要掌握并靈活運(yùn)用雙曲線離心率的計(jì)算公式．