Question

9．知函數f（x）=ax²-2x+lnx（a≠0，a∈R）．
（1）判斷函數 f （x）的單調性；
（2）若函數 f （x）有兩個極值點x₁，x₂，求證：f（x₁）+f（x₂）＜-3．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區(qū)間即可；
（2）求出f（x₁）+f（x₂）=-（lna+$\frac{1}{a}$）-（1+ln2），令h（a）=-（lna+$\frac{1}{a}$）-（1+ln2），（0＜a＜$\frac{1}{2}$），根據函數的單調性證明即可．

解答 解：（1）由題意得，函數f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=2ax-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-2x+1}{x}$，
令g（x）=2ax²-2x+1，△=4-8a，
①a≥$\frac{1}{2}$時，△=4-8a≤0，f′（x）≥0恒成立，
則f（x）在（0，+∞）遞增；
②a＜$\frac{1}{2}$時，△=4-8a＞0，
由g（x）=0，解得：x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2a}$，
（i）0＜a＜$\frac{1}{2}$時，0＜x₁＜x₂，
此時f（x）在區(qū)間（x₁，x₂）遞減，在（0，x₁），（x₂，+∞）遞增；
（ii）a＜0時，x₂＜0＜x₁，
此時f（x）在區(qū)間（x₁，+∞）遞減，在（0，x₁）遞增，
∴a≥$\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，+∞）遞增，
0＜a＜$\frac{1}{2}$時，f（x）在區(qū)間（x₁，x₂）遞減，在（0，x₁），（x₂，+∞）遞增，
a＜0時，f（x）在區(qū)間（x₁，+∞）遞減，在（0，x₁）遞增；
（2）證明：由（1）得0＜a＜$\frac{1}{2}$時，函數f（x）有2個極值點x₁，x₂，
且x₁+x₂=$\frac{1}{a}$，x₁x₂=$\frac{1}{2a}$，
∴f（x₁）+f（x₂）=-（lna+$\frac{1}{a}$）-（1+ln2），
令h（a）=-（lna+$\frac{1}{a}$）-（1+ln2），（0＜a＜$\frac{1}{2}$），
則h′（a）=-（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$）=$\frac{1-a}{{a}^{2}}$＞0，
∴h（a）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，
則h（a）＜h（$\frac{1}{2}$）=-（ln$\frac{1}{2}$+2）-（1+ln2）=-3，
即f（x₁）+f（x₂）＜-3．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，考查不等式的證明，是一道中檔題．