Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³+$\frac{1}{x+1}$，x∈[0，1]．
（1）用分析法證明：f（x）≥1-x+x²；
（2）證明：f（x）＞$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用分析法的證明步驟，即可得出結(jié)論．
（2）利用配方法，結(jié)合（1），即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵x∈[0，1]，∴x+1∈[1，2]．
要證明：f（x）≥1-x+x²，
只要證明：x³（x+1）+1≥（x+1）（1-x+x²），
只要證明：x⁴≥0，
顯然成立，
∴f（x）≥1-x+x²；
（2）∵1-x+x²=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，當且僅當x=$\frac{1}{2}$時取等號，
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{19}{24}$＞$\frac{3}{4}$，f（x）≥1-x+x²，
∴f（x）＞$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查用分析法證明不等式，把證明不等式轉(zhuǎn)化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經(jīng)具備為止．