分析 由已知可得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PA}$•(2$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$)=2$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$2=-$\overrightarrow{PA}$2=-|$\overrightarrow{PA}$|2,根據(jù)三角形外角平分線定理及勾股定理求出AP長,可得答案.
解答 解:∵在△APC中,點B是AC中點,
∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PB}$,即$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$,
故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PA}$•(2$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$)=2$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$2,
∵∠APB=90°,
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0,
即$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=-$\overrightarrow{PA}$2=-|$\overrightarrow{PA}$|2,
∵∠BPC=45°,AC=2,
由三角形外角平分線定理得:PA:PB=AC:BC,
故AP=2PB,AB=1,
解得:AP=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=-$\frac{4}{5}$,
故答案為:-$\frac{4}{5}$
點評 本題考查的知識點是平面向量的數(shù)量積運算,平面向量在平面幾何中的應(yīng)用,難度中檔.
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A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | 1 |
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A. | 若p∧q為假命題,則p,q至少之一為假命題 | |
B. | 命題“?x∈R,x2-x-1<0”的否定是“?x∈R,x2-x-1≥0” | |
C. | 冪函數(shù)f(x)=mxm-2在其定義域上為減函數(shù) | |
D. | “若am2<bm2,則a<b”的否命題是假命題 |
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A. | 對立事件 | B. | 不可能事件 | ||
C. | 互斥但不對立事件 | D. | 以上均不對 |
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A. | $a>{a^{a^a}}>{a^{\sqrt{a}}}$ | B. | $a>{a^{\sqrt{a}}}>{a^{a^a}}$ | C. | ${a^{a^a}}>a>{a^{\sqrt{a}}}$ | D. | ${a^{\sqrt{a}}}>{a^{a^a}}>a$ |
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