Question

1．已知線段AB的端點B的坐標(biāo)為（0，3），端點A在圓C：（x+1）²+y²=4上運動．
（1）求線段AB的中點M的軌跡方程；
（2）過B點的直線l與圓C有兩個交點A，B，弦AB的長為$\frac{{2\sqrt{19}}}{5}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用代入法，求線段AB的中點M的軌跡方程；
（2）由題意知，圓心C（-1，0）到L的距離為$\frac{1}{\sqrt{2}}$CD=$\sqrt{2}$．由點到直線的距離公式得$\frac{|-k-k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，求出k，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），M（x，y），
由中點公式得x₁=2x-1，y₁=2y-3
因為A在圓C上，所以（2x）²+（2y-3）²=4，即x²+（y-1.5）²=1
點M的軌跡是以（0，1.5）為圓心，1為半徑的圓；
（2）設(shè)L的斜率為k，則L的方程為y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0
因為CA⊥CD，△CAD為等腰直角三角形，
由題意知，圓心C（-1，0）到L的距離為$\frac{1}{\sqrt{2}}$CD=$\sqrt{2}$．
由點到直線的距離公式得$\frac{|-k-k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴4k²-12k+9=2k²+2
∴2k²-12k+7=0，解得k=3±$\frac{\sqrt{22}}{2}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓位置關(guān)系的運用，正確運用代入法求軌跡方程是關(guān)鍵．