Question

13．在等比數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項和，已知a₅=2S₄+3，a₆=2S₅+3，則此數(shù)列的公比q=3，a₄，a₆的等比中項為243，數(shù)列$\{\frac{6n+1}{a_n}\}$的最大值是$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 對于第一空：根據(jù)已知條件得出2S₅-2S₄=a₆-3-（a₅-3）=a₆-a₅=2a₅，得出3a₅=a₆，然后根據(jù)兩項的關(guān)系得出3a₅=a₅q，答案可得q的值；
對于第二空：由a₅=2S₄+3求得a₁的值，易得該數(shù)列的通項公式，求出a₄，a₆的值，由等比中項的性質(zhì)計算可得答案；
對于第三空：設(shè)b_n=$\frac{6n+1}{{a}_{n}}$，計算可得數(shù)列$\{\frac{6n+1}{a_n}\}$的通項公式為b_n=$\frac{6n+1}{{3}^{n}}$，分析可得b_n+1-b_n=$\frac{6n+7}{{3}^{n+1}}$-$\frac{6n+1}{{3}^{n}}$=$\frac{4-12n}{{3}^{n+1}}$，結(jié)合n的范圍可得b_n+1-b_n=$\frac{4-12n}{{3}^{n+1}}$＜0，即數(shù)列b_n=$\frac{6n+1}{{3}^{n}}$為遞減數(shù)列，可得n=1時，數(shù)列$\{\frac{6n+1}{a_n}\}$有最大值，將n=1代入計算可得答案．

解答 解：∵a₅=2S₄+3，a₆=2S₅+3，即2S₄=a₅-3，2S₅=a₆-3
∴2S₅-2S₄=a₆-3-（a₅-3）=a₆-a₅=2a₅
即3a₅=a₆
∴3a₅=a₅q
解得q=3，
則由a₅=2S₄+3得到：3⁴a₁=2×$\frac{{a}_{1}（1-{3}^{4}）}{1-3}$+3，
解得a₁=3，
則a₄=a₁×q³=3⁴，a₆=a₁×q⁵=3⁶，
則a₄，a₆的等比中項為±$\sqrt{{3}^{4}×{3}^{6}}$=±243，
設(shè)b_n=$\frac{6n+1}{{a}_{n}}$，
又由a₁=3，q=3，
則a_n=a₁×q^n-1=3ⁿ，
則有$\frac{6n+1}{{a}_{n}}$=$\frac{6n+1}{{3}^{n}}$，
即數(shù)列$\{\frac{6n+1}{a_n}\}$的通項公式為b_n=$\frac{6n+1}{{3}^{n}}$，
b_n+1-b_n=$\frac{6n+7}{{3}^{n+1}}$-$\frac{6n+1}{{3}^{n}}$=$\frac{4-12n}{{3}^{n+1}}$，
當(dāng)n≥1時，有b_n+1-b_n=$\frac{4-12n}{{3}^{n+1}}$＜0，
即數(shù)列b_n=$\frac{6n+1}{{3}^{n}}$為遞減數(shù)列，
則其最大值為b₁=$\frac{6×1+1}{{3}^{1}}$=$\frac{7}{3}$；
故答案為：3，±243，$\frac{7}{3}$．

點評 本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用S₅-S₄=a₅得出a₅、a₆的關(guān)系，屬中檔題．