Question

3．高為$\sqrt{2}$的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S、A、B、C、D均同一球面上，底面ABCD的中心為O₁，球心O到底面ABCD的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則異面直線SO₁與AB所成角的余弦值的范圍為[0，$\frac{\sqrt{10}}{10}$]．

Answer 1

分析 由題意可知ABCD是小圓，對角線長為$\sqrt{2}$，四棱錐的高為$\sqrt{2}$，推出高就是四棱錐的一條側棱，最長的側棱就是球的直徑，然后利用勾股定理求出底面ABCD的中心O₁與頂點S之間的距離，取BC的中點M，連接SM，O1M，∠SO₁M或補角是異面直線SO₁與AB所成的角，運用余弦定理即可求得．

解答 解：由題意可知ABCD是正方形，對角線長為$\sqrt{2}$，四棱錐的高為$\sqrt{2}$，球心O到底面ABCD的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以點S，A，B，C，D均在半徑為1的同一球面上，球的直徑為2，所以四棱錐的一條側棱垂直底面，最長的側棱就是直徑，
所以底面ABCD的中心O₁與頂點S之間的距離為：$\sqrt{2+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
取BC的中點M，連接SM，O₁M，
∠SO₁M或補角是異面直線SO₁與AB所成的角，
SO₁=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，O₁M=$\frac{1}{2}$，SM=$\sqrt{2+1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
由余弦定理得cos∠SO₁M=$\frac{\frac{10}{4}+\frac{1}{4}-\frac{13}{4}}{2×\frac{\sqrt{10}}{2}×\frac{1}{2}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$
故異面直線SO₁與AB所成的最小角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴異面直線SO₁與AB所成角的余弦值的范圍為[0，$\frac{\sqrt{10}}{10}$]．
故答案為[0，$\frac{\sqrt{10}}{10}$]．

點評 本題是中檔題，考查球的內接多面體的知識，能夠正確推出四棱錐的一條側棱垂直底面，最長的側棱就是直徑是本題的關鍵，考查空間異面直線所成的角，以及邏輯推理能力，計算能力．