Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S₂=-1，S₅=5，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，并且滿足：b_n=（a_n+2）cos$\frac{（{a}_{n}+2）π}{2}$$+\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$，則T₂₀₁₆$+\frac{2016}{4031}$=1008．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首英和公差，從而求出a_n=n-2，進(jìn)而得b_n=ncos$\frac{nπ}{2}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}$），由此求出數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和，進(jìn)而能求出T₂₀₁₆$+\frac{2016}{4031}$的值．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S₂=-1，S₅=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+\frac{2×1}{2}d=-1}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=5}\end{array}\right.$，
解得a₁=-1，d=1，∴a_n=-1+（n-1）=n-2，
∴b_n=（a_n+2）cos$\frac{（{a}_{n}+2）π}{2}$$+\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=ncos$\frac{nπ}{2}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}$），
∴數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和：
T_n=（-2+4-6+8-10+…-2014+2016）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{-1}-\frac{1}{1}+\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{4029}-\frac{1}{4031}$）
=504×2+$\frac{1}{2}$（-1-$\frac{1}{4031}$）
=1008-$\frac{2016}{4031}$，
∴T₂₀₁₆$+\frac{2016}{4031}$=1008．
故答案為：1008．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．