Question

17．已知拋物線：y²=4x，直線l：x-y+4=0，拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d₁，P到直線l的距離為d₂，則d₁+d₂的最小值為（　　）

• A． $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{5\sqrt{2}}{2}$+1
• C． $\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2
• D． $\frac{5\sqrt{2}}{2}$-1

Answer 1

分析 連接PF，過點P作PA⊥l于點A，作PB⊥y軸于點B，PB的延長線交準線x=-1于點C．由拋物線的定義，得到d₁+d₂=（PA+PF）-1，再由平面幾何知識可得當P、A、F三點共線時，PA+PF有最小值，因此算出F到直線l的距離，即可得到d₁+d₂的最小值．

解答 解：如圖，過點P作PA⊥l于點A，作PB⊥y軸于點B，PB的延長線交準線x=-1于點C
連接PF，根據拋物線的定義得PA+PC=PA+PF
∵P到y(tǒng)軸的距離為d₁，P到直線l的距離為d₂，
∴d₁+d₂=PA+PB=（PA+PC）-1=（PA+PF）-1
根據平面幾何知識，可得當P、A、F三點共線時，PA+PF有最小值
∵F（1，0）到直線l：x-y+4=0的距離為$\frac{|1-0+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴PA+PF的最小值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
由此可得d₁+d₂的最小值為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-1．
故選D．

點評 本題給出拋物線和直線l，求拋物線上一點P到y(tǒng)軸距離與直線l距離之和的最小值，著重考查了點到直線的距離公式、拋物線的定義和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．