Question

2．將函數(shù)y=sin²x-cos²x的函數(shù)圖象向右平移m個(gè)單位以后得到的圖象與y=ksinxcosx（k＞0）的圖象關(guān)于$（\frac{π}{3}，0）$對(duì)稱，則k+m的最小正值是2+$\frac{5π}{12}$．

Answer 1

分析 由題意可得y=-cos（2x-2m）的圖象和y=$\frac{k}{2}$sin2x（k＞0）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{π}{3}，0）$對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）為y=-cos（2x-2m）上任意一點(diǎn)，則該點(diǎn)關(guān)于$（\frac{π}{3}，0）$對(duì)稱點(diǎn)為$Q（\frac{2π}{3}-{x_0}，-{y_0}）$在y=$\frac{k}{2}$sin2x（k＞0）的圖象上，故有$\left\{\begin{array}{l}{-cos（{2x}_{0}-2m）{=y}_{0}}\\{\frac{k}{2}sin（\frac{4π}{3}-{2x}_{0}）={-y}_{0}}\end{array}\right.$，求得k=2，且cos（2x₀-$\frac{5π}{6}$）=cos（2x₀-2m），由此求得k+m的最小正值．

解答 解：將函數(shù)y=sin²x-cos²x=-cos2x的函數(shù)圖象向右平移m個(gè)單位以后得到y(tǒng)=-cos2（x-m）=-cos（2x-2m）的圖象，
根據(jù)所得圖象與y=ksinxcosx=$\frac{k}{2}$sin2x（k＞0）的圖象關(guān)于$（\frac{π}{3}，0）$對(duì)稱，
設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）為y=-cos（2x-2m）上任意一點(diǎn)，
則該點(diǎn)關(guān)于$（\frac{π}{3}，0）$對(duì)稱點(diǎn)為$Q（\frac{2π}{3}-{x_0}，-{y_0}）$在y=$\frac{k}{2}$sin2x（k＞0）的圖象上，故有$\left\{\begin{array}{l}{-cos（{2x}_{0}-2m）{=y}_{0}}\\{\frac{k}{2}sin（\frac{4π}{3}-{2x}_{0}）={-y}_{0}}\end{array}\right.$，
求得k=2，sin（2x₀-$\frac{π}{3}$）=cos（2x₀-2m），即cos（2x₀-$\frac{5π}{6}$）=cos（2x₀-2m），
∴-2m=-$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z，即 2m=$\frac{5π}{6}$-2kπ，k∈Z，故m的最小正值為$\frac{5π}{12}$，
則k+m的最小正值為2+$\frac{5π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象，兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某個(gè)點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，屬于中檔題．