(本小題滿分14分)已知如圖(1),梯形
中,
,
,
,
、
分別是
、
上的動點,且
,設(shè)
(
)。沿
將梯形
翻折,使平面
平面
,如圖(2)。
(Ⅰ)求證:平面
平面
;
(Ⅱ)若以
、
、
、
為頂點的三棱錐的體積記為
,求
的最大值;
(Ⅲ)當(dāng)
取得最大值時,求二面角
的正弦值.
解:(Ⅰ)∵平面
平面
,
,∴
平面
,
∴
∵
, 又
∴
平面
。
又
平面
,
∴平面
平面
. ………………4分
(Ⅱ)
平面
,
平面
,
平面
.
……………………………………6分
即
時,
有最大值
. ……………………………………8分
(Ⅲ)(方法一)如圖,以E為原點,
、
、
為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則
,
,
,
,
∴
,
,
設(shè)平面
的法向量為
,
則
∴
設(shè)
,則
,
,∴
……………………………10分
平面
的一個法向量為
,
∴
, ……………………………12分
設(shè)二面角
為
,∴
∴二面角
的正弦值為
…………………………………14分
(方法二)作
于
,作
于
,連
。由(1)知平面
平面
,
平面
又
平面DGH
∴
是二面角
的平面角的補角.…………………………………10分
由
∽
,知
,
而
,
,
,
∴
又
,∴
……………12分
在
中,
。
∴二面角
的正弦值為
…………………………………14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點,PA⊥底面ABCD,PA=2.
(Ⅰ)證明:平面PBE⊥平面PAB;
(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)如圖,已知四面體ABCD的四個面均為銳角三角形,E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點,BD∥平面EFGH,且EH=FG.
(1) 求證:HG∥平面ABC;
(2) 請在面ABD內(nèi)過點E作一條線段垂直于AC,并給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分14分)如圖,在直三棱柱
中,
,
分別是
的中點,且
.
(1)求證:
;
(2)求證:平面
平面
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題14分)如圖,在棱長為1的正方體
中,E,P分別是側(cè)棱B
1C
1,
上的中點
(1)求證:A
1E//平面D
1AP
(2)求直線AP與平面
所成角的正切值
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分8分)在直三棱柱
中,
,
,
分別為棱
、
的中點,
為棱
上的點。
(1)證明:
;
(2) 當(dāng)
時,求二面角
的大小。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
.如圖,在四面體
中,
平行于截面
(1)若
,證明
∥平面
;
(2)若
,猜想三條直線
位置關(guān)系,并證明之.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是邊長為4的菱形,且
,菱形ABCD的兩條對角線的交點為0,PA=PC,PB=PD,且PO=3.點E是線段PA的中點,連接EO、EB、EC.
(I)證明:直線OE//平面PBC;
(II)求二面角E-BC-D的大小
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