Question

19．在平面直角坐標系xOy中，設命題p：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{8-m}$=1的焦點在x軸上：命題q：直線l：x-y+m=0與圓O：x²+y²=9有公共點．若命題p、命題q中有且只有一個為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題p、p為真時m的取值范圍，再根據(jù)命題p、q中有且只有一個為真命題，分p真q假和p假q真時兩種情況，求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：命題p：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{8-m}$=1的焦點在x軸上：
p為真時：m＞8-m＞0，解得4＜m＜8；
命題q：直線l：x-y+m=0與圓O：x²+y²=9有公共點；
q為真時：圓心O到直線l的距離：$d=\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}≤3$，
解得$-3\sqrt{2}≤m≤3\sqrt{2}$；
因為命題p、q中有且只有一個為真命題，
若p真q假，則：$\left\{\begin{array}{l}4＜m＜8\\ m＜-3\sqrt{2}或m＞3\sqrt{2}\end{array}\right.$，
解得：$3\sqrt{2}＜m＜8$；
若p假q真，則：$\left\{\begin{array}{l}m≤4或m≥8\\-3\sqrt{2}≤m≤3\sqrt{2}\end{array}\right.$，
解得：$-3\sqrt{2}≤m≤4$；
綜上，實數(shù)m的取值范圍是$3\sqrt{2}＜m＜8$或$-3\sqrt{2}≤m≤4$．

點評 本題考查了復合命題真假的判斷問題，也考查了直線與圓錐曲線的位置關系與應用問題，是綜合性題目．