Question

13．設函數的定義域為D，若滿足條件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為$[{\frac{a}{2}，\frac{2}}]$，則稱f（x）為“倍縮函數”．若函數f（x）=e^x+t為“倍縮函數”，則實數t的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-∞，-\frac{1+ln2}{2}}]$
• B． $（{-∞，-\frac{1+ln2}{2}}）$
• C． $[{\frac{1+ln2}{2}，+∞}）$
• D． $（{\frac{1+ln2}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 根據新定義，存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為$[{\frac{a}{2}，\frac{2}}]$，可得函數f（x）是增函數，可得f（a）=$\frac{a}{2}$和f（b）=$\frac{2}$可以轉化為方程有兩個不等的實根，利用導函數求解出切點，可得t的范圍．

解答 解：∵函數f（x）=e^x+t為“倍縮函數”，
且滿足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是$[{\frac{a}{2}，\frac{2}}]$，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{a}+t=\frac{a}{2}}\\{{e}^+t=\frac{2}}\end{array}\right.$，
∴方程${e}^{x}-\frac{x}{2}+t=0$有兩個不等的實根，
令g（x）=${e}^{x}-\frac{x}{2}+t$，
則g′（x）=${e}^{x}-\frac{1}{2}$
由${e}^{x}-\frac{1}{2}$=0
解得：x=$ln\frac{1}{2}$=-ln2．
帶入方程：
得：${e}^{-ln2}+\frac{1}{2}ln2+t=0$，
解得：t=$-\frac{ln2+1}{2}$
則滿足條件的t的范圍是（-∞，$-\frac{ln2+1}{2}$）；
故選：B

點評 本題考查了函數的值域問題，解題時應構造函數，轉化為兩函數有不同二交點，利用方程解決，是中檔題．