Question

8．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（-x）=2x²，且x∈[0，+∞）時(shí)f′（x）＞2x恒成立，則不等式f（8-x）+16x＜64+f（x）的解集為（　�。�

• A． （4，+∞）
• B． （-∞，4）
• C． （8，+∞）
• D． （-∞，8）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令g（x）=f（x）-x²，分析可得g（x）為奇函數(shù)且在R為增函數(shù)，f（8-x）+16x＜64+f（x）轉(zhuǎn)化可得f（8-x）-（64-16x+x²）＜f（x）-x²，即g（8-x）＜g（x），結(jié)合g（x）的單調(diào)性可得8-x＜x，解可得x的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，令g（x）=f（x）-x²，
若f（x）+f（-x）=2x²，變形有f（x）-x²+f（-x）-（-x）²=0，
即g（x）+g（-x）=0，故g（x）為奇函數(shù)，
g（x）=f（x）-x²，g′（x）=f′（x）-2x，
又由x∈[0，+∞）時(shí)f′（x）＞2x恒成立，則x＞0時(shí)，g′（x）=f′（x）-2x＞0恒成立，
即g（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，
又由g（x）為奇函數(shù)，則g（x）在（-∞，0）也為增函數(shù)，
綜合可得：g（x）在R為增函數(shù)；
不等式f（8-x）+16x＜64+f（x），
則有f（8-x）-（64-16x+x²）＜f（x）-x²，
即g（8-x）＜g（x），
則有8-x＜x，
解可得x＞4，
即不等式f（8-x）+16x＜64+f（x）的解集為（4，+∞）；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，涉及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是構(gòu)造g（x），并分析函數(shù)g（x）的奇偶性、單調(diào)性．