Question

3．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，再向右平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析 （1）利用圖象，求出相應(yīng)參數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），由x∈[0，π]得x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象即可解得函數(shù)y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值及最小值．

解答 解：（1）由圖知，函數(shù)的最大值，最小值為2，-2，知A=2；
從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，自變量增加$\frac{π}{2}$，則$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，T=π，$ω=\frac{2π}{π}=2$，
由五點(diǎn)法作圖知$2（-\frac{π}{12}）+ϕ=\frac{π}{2}$，則$ϕ=\frac{2}{3}π$，
所以$f（x）=2sin（2x+\frac{2}{3}π）$函數(shù)的周期為π，且由圖知函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為$（-\frac{π}{12}，\frac{5}{12}π）$
因此f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$（-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5}{12}π+kπ），k∈Z$；
（2）由題意，g（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，π]，
∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴函數(shù)y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值為2，最小值為-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．