Question

18．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意自然數(shù)x，y均滿足：f（x+y²）=f（x）+2[f（y）]²，且f（1）≠0，則f（2014）=（　�。�

• A． 1007
• B． 1006
• C． 2014
• D． 2013

Answer 1

分析 利用賦值法求出f（x）的解析式之間的關(guān)系，即可求f（2014）的值．

解答 解：由題意：函數(shù)f（x）對(duì)任意自然數(shù)x，y均滿足：f（x+y²）=f（x）+2[f（y）]²，
∴取x=y=0，可得f（0）=0，
取x=0，y=1，得f（1）=f（0）+2[f（1）]²，即f（1）=2[f（1）]²．
∵f（1）≠0，
∴f（1）=$\frac{1}{2}$．
取x=n，y=1，得f（n+1）=f（n）+2[f（1）]2=f（n）+$\frac{1}{2}$．
即f（x+1）-f（x）=$\frac{1}{2}$
那么：f（2013+1）-f（2013）=$\frac{1}{2}$
f（2012+1）-f（2012）=$\frac{1}{2}$
f（2011+1）-f（2011）=$\frac{1}{2}$
…
…
f（2+1）-f（2）=$\frac{1}{2}$
f（1+1）-f（1）=$\frac{1}{2}$
等式的左邊加左邊=右邊加右邊．
即：f（2014）-f（1）=$\frac{1}{2}$×2013
那么：f（2014）=$\frac{2013}{2}+\frac{1}{2}$=1007．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的解析式和遞推關(guān)系求值的問題．屬于中檔題．