Question

10．已知函數(shù)f（x）=2|x+1|+|x-2|的最小值為m．
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）若a，b，c均為正實數(shù)，且滿足a+b+c=m，求證：$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，即可求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$）≥（a+b+c）²，即可證明結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：x≤-1，f（x）=-2x-2-x+2=-3x≥3，
-1＜x＜2，f（x）=2x+2-x+2=x+4∈（3，6），
x≥2，f（x）=2x+2+x-2=3x≥6，
∴m=3；
（Ⅱ）證明：a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$）≥（a+b+c）²，
∴$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥3．

點評 本題考查絕對值不等式，考查柯西不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．