Question

15．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}滿足a₆=14，且a₁，a₃，a₇為等比數(shù)列{b_n}的前三項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=a_n-b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，求出公差a₁，d的值，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式，再求出公比，即可求出{b_n}的通項公式
（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式分組求和即可

解答 解：（Ⅰ）設公差為d，由a₆=14，且a₁，a₃，a₇為等比數(shù)列{b_n}的前三項，可得
$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{a_1}+5d=14\\{（{a_1}+2d）^2}={a_1}•（{a_1}+6d）\end{array}\right.\end{array}$，
解得a₁=4，d=2，
∴a_n=4+（n-1）•2=2n+2，
∴q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=2，
∴b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
（Ⅱ）c_n=a_n-b_n，
∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=a₁-b₁+a₂-b₂+a₃-b₃+a_n-b_n=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）-（b₁+b₂+b₃+…+b_n）=$\frac{（4+2n+n）}{2}$-$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$=n²+3n+4-2ⁿ⁺²．

點評 本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質，等比數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的通項公式，分組求和，屬于中檔題．