Question

5．已知函數(shù)$f（x）={e^x}-{e^{-x}}+ln（x+\sqrt{{x^2}+1}）$（其中e≈2.718），若對任意的x∈[-1，2]，f（x²+2）+f（-2ax）≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是-$\frac{3}{2}$≤a≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 判斷函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且是增函數(shù)；
把f（x²+2）+f（-2ax）≥0恒成立化為x²+2≥2ax恒成立，
設g（x）=x²-2ax+2，利用二次函數(shù)的圖象與性質，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)$f（x）={e^x}-{e^{-x}}+ln（x+\sqrt{{x^2}+1}）$（其中e≈2.718），x∈R；
且f（-x）=e^-x-e^x+ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=-（e^x-e^-x）-ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函數(shù)，
又f′（x）=e^x+e^-x+$\frac{1+\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}}{x+\sqrt{{x}^{2}+1}}$＞0恒成立，
∴f（x）是定義域R上的單調增函數(shù)；
若對任意的x∈[-1，2]，f（x²+2）+f（-2ax）≥0恒成立，
∴f（x²+2）≥-f（-2ax）恒成立，
∴f（x²+2）≥f（2ax）恒成立，
∴x²+2≥2ax恒成立，
即x²-2ax+2≥0在x∈[-1，2]上恒成立；
設g（x）=x²-2ax+2，其對稱軸為x=a，且開口向上；
應滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{g（-1）=1+2a+2≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{g（2）=4-4a+2≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤2}\\{g（a）{=a}^{2}-{2a}^{2}+2≥0}\end{array}\right.$；
解得-$\frac{3}{2}$≤a＜-1或∅或-1≤a≤$\sqrt{2}$；
∴實數(shù)a的取值范圍是-$\frac{3}{2}$≤a≤$\sqrt{2}$．
故答案為：-$\frac{3}{2}$≤a≤$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調性的應用問題，也考查了分類討論與轉化思想的應用問題，是綜合性題目．