11.設(shè)F(x)=$\frac{f(x)}{g(x)}$是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù),當(dāng)x<0時,f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0,且f(2)=0,則不等式F(x)<0的解集是( 。
A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-2,0)∪(0,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(0,2)

分析 當(dāng)x<0時,F(xiàn)′(x)=[$\frac{f(x)}{g(x)}$]′=$\frac{{f}^{'}(x)g(x)-f(x){g}^{'}(x)}{[g(x)]^{2}}$<0,從而F(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增,利用f(2)=0,得到F(-2)=F(2)=0,由此能求出F(x)<0的解集.

解答 解:∵F(x)=$\frac{f(x)}{g(x)}$是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù),
∴f(x)和g(x)同為偶函數(shù)或同為奇函數(shù),
當(dāng)f(x)和g(x)同為偶函數(shù)時,f(-x)=f(x),g(-x)=g(x),
當(dāng)f(x)和g(x)同為奇函數(shù)時,f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x),
∵當(dāng)x<0時,f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0
∴當(dāng)x<0時,F(xiàn)′(x)=[$\frac{f(x)}{g(x)}$]′=$\frac{{f}^{'}(x)g(x)-f(x){g}^{'}(x)}{[g(x)]^{2}}$<0,
∴F(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減
∵F(x)為偶函數(shù),
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)F(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,
又f(2)=0,∴f(-2)=0,∴F(-2)=F(2)=0
F(x)<0的解集為(-2,0)∪(0,2).
故選:B.

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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