Question

1．三棱錐P-ABC中，底面ABC為等邊三角形，O為△ABC的中心，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=BC=$\sqrt{3}$，D為AP上一點(diǎn)，且AD=2DP．
（I）求證：DO∥平面PBC；
（II）求證：AC⊥平面OBD；
（III）求三棱錐B-PDC的體積．

Answer 1

分析 （I）延長AO交BC于E，連結(jié)PE，于是$\frac{AD}{DP}=\frac{AO}{OE}$，故而DO∥PE，從而得出DO∥平面PBC；
（II）由面面垂直的性質(zhì)可得PE⊥平面ABC，得出PE⊥AC，于是DO⊥AC，結(jié)合AC⊥OB得出AC⊥平面ODB；
（III）根據(jù)面面垂直得出AE⊥平面PBC，從而得出D到平面PBC的距離，代入棱錐的體積公式計(jì)算即可．

解答 證明：（I）延長AO交BC于E，連結(jié)PE．
∵O是等邊ABC的中心，
∴AO=2OE，又∵AD=2DP，
∴OD∥PE，又∵OD?平面PBC，PE?平面PBC，
∴DO∥平面PBC．
（II）∵O是等邊三角形ABC的中心，OA∩BC=E，
∴OB⊥AC，E是BC的中點(diǎn)，又∵PB=PC，
∴PE⊥BC．
∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，PE⊥BC，PE?平面PBC，
∴PE⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，
∴PE⊥AC，又PE∥DO，
∴DO⊥AC，
又DO?平面ODB，OB?平面ODB，OD∩OB=O，
∴AC⊥平面ODB．
（III）∵AE⊥BC，平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AE?平面ABC，
∴AE⊥平面PBC，
∵O是等邊三角形ABC的中心，
∴AE=$\frac{3}{2}$，
∵AD=2DP，
∴D到平面PBC的距離h=$\frac{1}{3}$AE=$\frac{1}{2}$，
∵△PBC是邊長為$\sqrt{3}$的等邊三角形，
∴S_△PBC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×3$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴V_B-PDC=V_D-PBC=$\frac{1}{3}{S}_{△PBC}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直、線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．