Question

18．若存在兩個正實數(shù)x、y，使得等式x+m（y-2ex）（lnx-lny）=0成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{e}$]∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法轉(zhuǎn)化為方程有解，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵x+m（y-2ex）（lnx-lny）=0，
∴x+m（y-2ex）ln$\frac{x}{y}$=0，
即1+m（$\frac{y}{x}-2e$）ln$\frac{x}{y}$=0，
令$\frac{y}{x}=t$，則1-m（t-2e）lnt=0，
∴m=$\frac{1}{（t-2e）lnt}$，即$\frac{1}{m}$=（t-2e）lnt，
令f（t）=（t-2e）lnt，則f′（t）=lnt+1-$\frac{2e}{t}$是增函數(shù)，
∵f′（e）=lne+1-2=0，
∴當(dāng)0＜t＜e時，f′（t）＜0，當(dāng)t＞e時，f′（t）＞0，
∴f（t）在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=e時，f（t）取得最小值f（e）=-e，
∴$\frac{1}{m}$≥-e，
解得m＞0或m≤-$\frac{1}{e}$．
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{e}$]∪（0，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)相交問題，利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．