Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，側棱長為

2

2

a，點D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求證：直線BC₁∥平面AB₁D；
（2）是否存點D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁，若存在，請確定點D的位置，若不存在，請說明理由；
（3）請指出點D的位置，使二面角A₁-AB₁-D平面角的大小為arctan2．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連結A₁B交AB₁于E點，由A₁D=DC₁，結合三角形中位線定理可得DE∥BC₁，然后根據(jù)線面平行的判定定理可得直線BC₁∥平面AB₁D．
（2）過點D作DN⊥AB₁于N，過點D作DM⊥A₁B₁于M，由線面垂直的判定定理及同一法，可得M，N應重合于B₁點，由于點D在棱A₁C₁上，故∠A₁B₁D≤∠A₁B₁C₁=60°，因此不存在這樣的點使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．
（3）連結MN，過A₁作A₁F⊥AB₁于F，由（2）的結論可得，∠MND為A₁-AB₁-D的平面角，設

A1D

A1C1

=λ，由二面角的正切值大小為2，構造關于λ的方程，從而指出D的位置．

解答： （1）證明：（1）連結A₁B交AB₁于E點，由A₁D=DC₁，結合三角形中位線定理可得DE∥BC₁，DE?面AB₁D 根據(jù)線面平行的判定定理可得直線BC₁∥平面AB₁D．
（2）假設存在D點，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁，過D作DN⊥AB₁于N，則DN⊥面ABB₁A₁，過D作DM⊥面ABB₁A₁，E而過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直，故M、N應重合于B₁點，則DB₁⊥A₁B₁，故∠A₁B₁D=90°
≤∠A₁B₁C₁=60°，顯然矛盾，不存在這樣的點．
（3）連結MN，過A₁點作A₁F⊥AB₁于F，由（2）得∠MND為二面角A₁-AB₁-D的平面角，故設

A1D

A1C1

=λ，則

A1M

A1B1

=

λ

2

，可得：DM=

3 aλ

2

，A1F=

3 a

3

，

MN

A1F

=1-

λ

2

，則MN=

3

3

a(1-

λ

2

)所以tanθ=

DM

MN

=-3+

6

2-λ

由于2=-3+

6

2-λ

解得：λ=

4

5

，即點D在A1C1上且

A1D

A1C1

=

4

5

時二面角A₁-AB₁-D平面角的大小為arctan2．

點評：本題考查的知識點：線面平行的判定定理，面面垂直的性質定理，反證法在實際問題中的應用，構造關于分點的方程及相關的運算問題．