Question

15．某公司有A、B、C、D四輛汽車，其中A車的車牌尾號(hào)為8，B、C兩輛車的車牌尾號(hào)為2，D車的車牌尾號(hào)為3，已知在非限行日，每輛車都有可能出車或不出車．已知A、D兩輛汽車每天出車的概率為$\frac{2}{3}$，B、C兩輛汽車每天出車的概率為$\frac{1}{2}$，且四輛汽車是否出車是相互獨(dú)立的．
該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下：

車牌尾號(hào)	0和5	1和6	2和7	3和8	4和9
限行日	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五

（I）求該公司在星期二至少有2輛汽車出車的概率；
（Ⅱ）設(shè)ξ表示該公司在星期三和星期四兩天出車的車輛數(shù)之和，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）設(shè)事件M表示“星期二只有一輛汽車出車”，事件N表示“星期二沒有汽車出車”．可得：P（M）=${∁}_{2}^{1}×（\frac{1}{2}）^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{6}{36}$，P（N）=$（\frac{1}{2}）^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{1}{36}$．可得該公司在星期二至少有2輛汽車出車的概率P=1-P（M）-P（N）．
（II）ξ的可能取值為0，1，2，3，4．利用相互獨(dú)立事件、互斥事件、古典概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)事件M表示“星期二只有一輛汽車出車”，事件N表示“星期二沒有汽車出車”．
∴P（M）=${∁}_{2}^{1}×（\frac{1}{2}）^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{6}{36}$，P（N）=$（\frac{1}{2}）^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{1}{36}$．
∴該公司在星期二至少有2輛汽車出車的概率P=1-P（M）-P（N）=$\frac{29}{36}$．
（II）ξ的可能取值為0，1，2，3，4．
∴P（ξ=0）=$（\frac{1}{2}）^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{1}{36}$．
P（ξ=1）=${∁}_{2}^{1}×（\frac{1}{2}）^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{6}{36}$，
P（ξ=2）=$（\frac{2}{3}）^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×{∁}_{2}^{1}$×$（\frac{1}{2}）^{2}$+$（\frac{1}{2}）^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{13}{36}$．
P（ξ=3）=$（\frac{2}{3}）^{2}×{∁}_{2}^{1}×（\frac{1}{2}）^{2}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{12}{36}$．
P（ξ=4）=$（\frac{2}{3}）^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{4}{36}$．ξ的分布列：
布列為

ξ	0	1	2	3	4
p	$\frac{1}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{12}{36}$	$\frac{4}{36}$

∴Eξ=0+$1×\frac{6}{36}$+2×$\frac{13}{36}$+3×$\frac{12}{36}$+4×$\frac{4}{36}$=$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互對(duì)立與獨(dú)立事件、互斥事件、古典概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．