Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）為偶函數(shù)，且在[0，$\frac{π}{4}$]上是增函數(shù)，則φ的一個可能值為（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$
• D． $\frac{5π}{3}$

Answer 1

分析 先將函數(shù)化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，再根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性對選項(xiàng)進(jìn)行逐一驗(yàn)證即可得到答案．

解答 解：根據(jù)題意，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+φ）+$\frac{1}{2}$cos（2x+φ）]
=2sin（2x+φ+$\frac{π}{6}$），
若f（x）為偶函數(shù)，則有φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=kπ+$\frac{π}{3}$，
分析選項(xiàng)，可以排除B、D，
對于A、當(dāng)φ=$\frac{π}{3}$時，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，在[0，$\frac{π}{4}$]上是減函數(shù)，不符合題意，
對于C、當(dāng)φ=$\frac{4π}{3}$時，f（x）=2sin（2x+$\frac{3π}{2}$）=-2cos2x，在[0，$\frac{π}{4}$]上是增函數(shù)，符合題意，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性．一般都要先將函數(shù)解析式化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，再根據(jù)題中條件解題．