Question

9．關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{6}$），（x∈R），有下列命題
①若f（x₁）=f（x₂）=0，則|x₁-x₂|必是π的整數(shù)倍；
②函數(shù)y=f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]單調(diào)遞增；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0）對(duì)稱(chēng)
④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱(chēng)．
所有正確命題的序號(hào)是②④．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一分析四個(gè)命題的真假，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{6}$），（x∈R），
∴①若f（x₁）=f（x₂）=0，則|x₁-x₂|必是$\frac{π}{2}$的整數(shù)倍，故錯(cuò)誤；
x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
故②函數(shù)y=f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]單調(diào)遞增；故正確；
當(dāng)x=-$\frac{π}{6}$時(shí)，2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=-1≠0，
③函數(shù)y=f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0）對(duì)稱(chēng)，而關(guān)于直線(xiàn)x=-$\frac{π}{6}$對(duì)稱(chēng)，故錯(cuò)誤；
當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)，2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1，
④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱(chēng)．故正確；
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．