Question

19．已知函數(shù)f（x）=asin（$\frac{π}{4}$x）（a＞0）在同一半周期內(nèi)的圖象過點(diǎn)O，P，Q，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為函數(shù)f（x）的最高點(diǎn)，Q為函數(shù)f（x）的圖象與x軸的正半軸的交點(diǎn)，△OPQ為等腰直角三角形．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）將△OPQ繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0＜α＜$\frac{π}{4}$），得到△OP′Q′，若點(diǎn)P′恰好落在曲線y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上（如圖所示），試判斷點(diǎn)Q′是否也落在曲線y=$\frac{3}{x}$（x＞0），并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用周期公式可求最小正周期T=8，由題意可求 Q坐標(biāo)為（4，0）．P坐標(biāo)為（2，a），結(jié)合△OPQ為等腰直角三角形，即可得解a=$\frac{|OQ|}{2}$的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，|OP|=2$\sqrt{2}$，|OQ|=4，可求點(diǎn)P′，Q′的坐標(biāo)，由點(diǎn)P′在曲線y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上，利用倍角公式，誘導(dǎo)公式可求cos2$α=\frac{3}{4}$，又結(jié)合0＜α＜$\frac{π}{2}$，可求sin2α的值，由于4cosα•4sinα=8sin2α=2$\sqrt{7}$≠3，即可證明點(diǎn)Q′不落在曲線y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=asin（$\frac{π}{4}$x）（a＞0）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8，
所以函數(shù)f（x）的半周期為4，
所以|OQ|=4．即有 Q坐標(biāo)為（4，0）．
又因?yàn)镻為函數(shù)f（x）圖象的最高點(diǎn)，
所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，a），
 又因?yàn)椤鱋PQ為等腰直角三角形，
所以a=$\frac{|OQ|}{2}$=2．
（Ⅱ）點(diǎn)Q′不落在曲線y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上．理由如下：由（Ⅰ）知，|OP|=2$\sqrt{2}$，|OQ|=4，
所以點(diǎn)P′，Q′的坐標(biāo)分別為（2$\sqrt{2}$cos（$α+\frac{π}{4}$），2$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）），（4cosα，4sinα），
因?yàn)辄c(diǎn)P′在曲線y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上，
所以3=8cos（$α+\frac{π}{4}$）sin（$α+\frac{π}{4}$）=4sin（2$α+\frac{π}{2}$）=4cos2α，即cos2$α=\frac{3}{4}$，
又0＜α＜$\frac{π}{2}$，
所以sin2α=$\frac{\sqrt{7}}{4}$． 
又4cosα•4sinα=8sin2α=8×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=2$\sqrt{7}$≠3．
所以點(diǎn)Q′不落在曲線y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)周期公式，倍角公式，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及解三角形的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．