【題目】如圖,四邊形ABCD與BDEF均為菱形,設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,若∠DAB=∠DBF=60°,且FA=FC.
(1)求證:FC∥平面EAD;
(2)求二面角A-FC-B的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)先證明平面FBC∥平面EAD,即證明FC∥平面EAD.(2)利用向量法求二面角A-FC-B的余弦值.
(1)證明:∵四邊形ABCD與BDEF均為菱形,
∴AD∥BC,DE∥BF.
∵AD平面FBC,DE平面FBC,
∴AD∥平面FBC,DE∥平面FBC,
又AD∩DE=D,AD平面EAD,DE平面EAD,
∴平面FBC∥平面EAD,
又FC平面FBC,∴FC∥平面EAD.
(2)連接FO、FD,∵四邊形BDEF為菱形,且∠DBF=60°,∴△DBF為等邊三角形,
∵O為BD中點(diǎn).所以FO⊥BD,O為AC中點(diǎn),且FA=FC,
∴AC⊥FO,
又AC∩BD=O,∴FO⊥平面ABCD,
∴OA、OB、OF兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
設(shè)AB=2,因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為菱形,∠DAB=60°,
則BD=2,OB=1,OA=OF=,
∴O(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),C(-,0,0),F(0,0,),
∴=(,0,),=(,1,0),
設(shè)平面BFC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
則有∴
令x=1,則n=(1,-,-1),
∵BD⊥平面AFC,∴平面AFC的一個(gè)法向量為=(0,1,0).
∵二面角A-FC-B為銳二面角,設(shè)二面角的平面角為θ,
∴cosθ=|cos〈n,〉|===,
∴二面角A-FC-B的余弦值為.
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【題目】某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同).
(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率;
(2)設(shè)為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】在如圖的表格中,每格填上一個(gè)數(shù)字后,使每一橫行成等差數(shù)列,每一縱列成等比數(shù)列,則a+b+c的值為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】已知集合A=a1 , a2 , a3 , …,an , 其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的個(gè)數(shù).
(Ⅰ)設(shè)集合P=2,4,6,8,Q=2,4,8,16,分別求l(P)和l(Q);
(Ⅱ)若集合A=2,4,8,…,2n , 求證: ;
(Ⅲ)l(A)是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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(2)設(shè)函數(shù)在上的最小值為,求的表達(dá)式及的最小值.
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【題目】下列命題中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為:( )
①的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;②的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;
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A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【題目】甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10),每小時(shí)可獲得的利潤是100(5x+1﹣ )元.
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(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問:甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度?并求此最大利潤.
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