Question

在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn)，又PA=AB=4，∠CDA=120°.

（1）求證：BD⊥PC；
（2）設(shè)E為PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AB上，若直線EF∥平面PAD，求AF的長；
（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）；（3）.

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線線垂直的判定和線面平行垂直的判定以及二面角的求法，可以運(yùn)用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計(jì)算能力.第一問，先利用正三角形的性質(zhì)得出與垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)得出與垂直，利用線面垂直的判定得垂直平面，從而得證；第二問，先利用中位線證出，再根據(jù)線面平行的判定定理證明平面，再根據(jù)已知條件得面面平行，所以得到，再轉(zhuǎn)化邊和角的值求出；第三問，先根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，得出各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出平面的法向量和平面的法向量，再利用夾角公式求出余弦值.
試題解析：（1）∵是正三角形，是中點(diǎn)，
∴，即.
又∵平面，∴.
又，∴平面.
∴.
（2）取中點(diǎn)連接則平面.
又直線平面，
所以平面平面，
∴，
∵為中點(diǎn)，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，得.
（3）分別以，，為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
∴，，，．
為平面的法向量．
，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，得，，則平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角的大小為，則．
所以二面角余弦值為．