Question

10．如圖，梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=2，AD=AB=1，四邊形BDEF為正方形，且平面BDEF丄平面ABCD
（1）求證：DF⊥CE
（2）若AC與BD相交于點O，那么在棱AE上是否存在點G，使得平面OBG∥平面EFC？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過證明：DF⊥平面BCE，即可證明DF⊥CE
（2）棱AE上存在點G，$\frac{AG}{GE}$=$\frac{1}{2}$，使得平面OBG∥平面EFC，證明OB∥平面EFC，OG∥平面EFC，即可證明結(jié)論．

解答 （1）證明：連接EB，
∵梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=2，AD=AB=1，
∴BD=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
∴BD²+BC²=CD²，
∴BC⊥BD，
∵平面BDEF丄平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
∴BC⊥平面BDEF，
∴BC⊥DF，
∵DF⊥EB，EB∩BC=B，
∴DF⊥平面BCE，
∵CE?平面BCE，
∴DF⊥CE
（2）解：棱AE上存在點G，$\frac{AG}{GE}$=$\frac{1}{2}$，使得平面OBG∥平面EFC．
∵AB∥DC，AB=1，DC=2，
∴$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{AG}{GE}$=$\frac{1}{2}$，
∴OG∥CE，
∵EF∥OB，
∴OB∥平面EFC，OG∥平面EFC，
∵OB∩OG=O，
∴平面OBG∥平面EFC．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判斷，考查面面平行的判定，屬于中檔題．