Question

2．平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．過點(diǎn)F₁的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂周長為$4\sqrt{3}$，那么C的方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$
• B． $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$
• C． $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$
• D． $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形并求得a，結(jié)合離心率求得c，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求．

解答 解：如圖，設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$．

∵△ABF₂周長為$4\sqrt{3}$，∴4a=$4\sqrt{3}$，得a=$\sqrt{3}$．
又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴c=1．
則b²=a²-c²=2．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了橢圓定義的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．