Question

7．如圖，圓錐的底面圓心為O，直徑為AB，C為半圓弧AB的中點，E為劣弧CB的中點，且AB=2PO=2$\sqrt{2}$．
（1）求異面直線PC與OE所成的角的大��；
（2）求二面角P-AC-E的大小．

Answer 1

分析 （1）方法（1）根據(jù)中點條件可以證明OE∥AC，∠PCA或其補角是異面直線PC與OE所成的角；                             
解△PCA可得異面直線PC與OE所成的角
方法（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，$P（{0，0，\sqrt{2}}），B（{0，\sqrt{2}，0}），A（{0，-\sqrt{2}，0}），C（{\sqrt{2}，0，0}）$，E（1，1，0）
利用向量的夾角公式可得異面直線PC與OE所成的角
（2）、方法（1）、求出平面APC的法向量，平面ACE的法向量，利用向量法求解．           
方法（2）、取AC中點為D，連接PD，OD，可得二面角P-AC-E的平面角即為∠PDO
 解Rt△PDO，可得二面角P-AC-E的大小

解答 解：（1）證明：方法（1）∵PO是圓錐的高，∴PO⊥底面圓O，
根據(jù)中點條件可以證明OE∥AC，得∠PCA或其補角是異面直線PC與OE所成的角；                             
$AC=\sqrt{O{A^2}+O{C^2}}=\sqrt{2+2}=2，PC=PA=\sqrt{O{P^2}+O{C^2}}=\sqrt{2+2}=2$（2分）
所以$∠PCA=\frac{π}{3}$（1分）
異面直線PC與OE所成的角是$\frac{π}{3}$（1分）
（1）方法（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，$P（{0，0，\sqrt{2}}），B（{0，\sqrt{2}，0}），A（{0，-\sqrt{2}，0}），C（{\sqrt{2}，0，0}）$，E（1，1，0）
∴$\overrightarrow{OE}=（{1，1，0}）$，$\overrightarrow{PC}=（{\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}}）$，$\overrightarrow{AC}=（{\sqrt{2}，\sqrt{2}，0}）$，
設(shè)$\overrightarrow{PC}$與$\overrightarrow{OE}$夾角θ，$cosθ=\frac{{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{OE}}}{{|{\overrightarrow{PC}}|•|{\overrightarrow{OE}}|}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}×2}}=\frac{1}{2}$

異面直線PC與OE所成的角$\frac{π}{3}$．
（2）、方法（1）、設(shè)平面APC的法向量$\overrightarrow{n_1}=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{PC}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}{x_1}-\sqrt{2}{z_1}=0\\ \sqrt{2}{x_1}+\sqrt{2}{y_1}=0\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{n_1}=（{1，-1，1}）$，
平面ACE的法向量$\overrightarrow{n_2}=（{0，0，1}）$，（1分）
設(shè)兩平面的夾角α，則$cosα=|{\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}}|=\frac{1}{{\sqrt{3}×1}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
所以二面角P-AC-E的大小是arccos$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．               
方法（2）、取AC中點為D，連接PD，OD，又圓錐母線PA=AC，∴PD⊥AC，
∵底面圓O上OA=OC∴OD⊥AC，
又E為劣弧CB的中點，即有E∈底面圓O，
∴二面角P-AC-E的平面角即為∠PDO，
∵C為半圓弧AB的中點，∴∠AOC=90°又直徑$AB=2\sqrt{2}$，
∴$OD=\frac{1}{2}AC=1$，
∵PO⊥底面圓O且OD?底面圓O，∴PO⊥OD，
又$PO=\sqrt{2}$∴△Rt△PDO中，$PD=\sqrt{3}$，
∴$cos∠PDO=\frac{OD}{PD}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$所以二面角P-AC-E的大小是arccos$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查了空間線線角、面面角的求解，屬于中檔題．