Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax+xln x（a∈R）．
（1）當a=-2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[e，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a≥-lnx-1在[e，+∞）上恒成立，設g（x）=-lnx-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：因為f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1．
（1）當a=-2時，f'（x）=lnx-1，令f'（x）=0，得x=e．
當0＜x＜e時，f'（x）＜0；當x＞e時，f'（x）＞0；
所以函數(shù)f（x）=-2x+xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞增區(qū)間是（e，+∞）．
（2）因為f（x）在[e，+∞）上為增函數(shù)，
所以f'（x）≥0，即a≥-lnx-1在[e，+∞）上恒成立．
設g（x）=-lnx-1，因為函數(shù)g（x）=-lnx-1在[e，+∞）上為減函數(shù)，
所以g（x）_max=g（e）=-lne-1=-2，
所以a≥-2．故a的取值范圍是[-2，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．