Question

10．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}-2x$
（1）若函數(shù)f（x）在定義域內單調遞增，求a的取值范圍；
（2）若$a=-\frac{1}{2}$，且關于x的方程$f（x）=-\frac{1}{2}x+b$在[1，4]恰有兩個不相等的實數(shù)根，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)f（x）進行求導，令導數(shù)大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）將a的值代入整理成方程的形式，然后轉化為函數(shù)考慮其圖象與x軸的交點的問題．

解答 解：（1）f'（x）=-$\frac{{ax}^{2}+2x-1}{x}$（x＞0），
依題意f'（x）≥0 在x＞0時恒成立，即ax²+2x-1≤0在x＞0恒成立．
則a≤$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$在x＞0恒成立，
即a≤[（$\frac{1}{x}$-1）²-1]_min，x＞0，
當x=1時，（$\frac{1}{x}$-1）²-1取最小值-1，
∴a的取值范圍是（-∞，-1]；
（2）a=-$\frac{1}{2}$，f（x）=-$\frac{1}{2}$x+b，
∴$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b=0
設g（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b（x＞0）
則g'（x）=$\frac{（x-2）（x-1）}{2x}$，
列表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，4）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴g（x）極小值=g（2）=ln2-b-2，g（x）極大值=g（1）=-b-$\frac{5}{4}$，
又g（4）=2ln2-b-2
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根．
則 $\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（2）＜0}\\{g（4）≥0}\end{array}\right.$，得ln2-2＜b≤-$\frac{5}{4}$．

點評 本題主要考查函數(shù)單調性與其導函數(shù)正負之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減．