Question

7．已知渡船在靜水中速度$\overrightarrow{v_2}$的大小為$（\sqrt{6}+\sqrt{2}）$m/s，河水流速$\overrightarrow{v_1}$的大小為2m/s．如圖渡船船頭方向與水流方向成$\frac{π}{4}$夾角，且河面垂直寬度為$600（\sqrt{3}+1）m$．
（Ⅰ）求渡船的實(shí)際速度與水流速度的夾角；
（Ⅱ）求渡船過河所需要的時(shí)間．[提示：4+2$\sqrt{3}={（\sqrt{3}+1）^2}$]．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一：（向量坐標(biāo)法）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{v_1}$所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模以及夾角公式即可求出，
方法二：（正、余弦定理），根據(jù)平行四邊形法則和正弦定理和余弦定理即可求出，
（Ⅱ）先求出所走的路程，即可求出所需要的時(shí)間

解答 解：（Ⅰ）方法一：（向量坐標(biāo)法）
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{v_1}$所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系

由條件$＜\overrightarrow{v_1}，\overrightarrow{v_2}＞=\frac{π}{4}$，$|\overrightarrow{v_1}|=2$，$|\overrightarrow{v_2}|=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
知$\overrightarrow{v_1}=（2，0）$，$\overrightarrow{v_2}=（\sqrt{3}+1，\sqrt{3}+1）$，
由$\overrightarrow v=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=（\sqrt{3}+3，\sqrt{3}+1）$，
即$|\overrightarrow v{|^2}=16+8\sqrt{3}$
所以$|\overrightarrow v|=\sqrt{16+8\sqrt{3}}=2（\sqrt{3}+1）$
所以$cos＜\overrightarrow{v_1}，\overrightarrow v＞=\frac{{\overrightarrow v•\overrightarrow{v_1}}}{{|\overrightarrow v||\overrightarrow{v_1}|}}=\frac{{2\sqrt{3}+6}}{{2（\sqrt{3}+1）•2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即所以渡船的實(shí)際速度與水流速度的夾角$\frac{π}{6}$；                                
（Ⅱ）由（Ⅰ）知船垂直方向速度為$|\overrightarrow v|•sin\frac{π}{6}=\sqrt{3}+1$
所以渡船過河所需要的時(shí)間$\frac{{600（\sqrt{3}+1）}}{{\sqrt{3}+1}}=600$s．…（12分）
方法二：（正、余弦定理）
（Ⅰ）如圖所示，$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{v_1}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v_2}$，設(shè)渡船的合速度$\overrightarrow v$，則$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow v$

由條件$∠AOB=\frac{π}{4}$，$|\overrightarrow{OA}|=2$，$|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
根據(jù)向量的平行四邊形法則有：$∠OAC=\frac{3π}{4}$，$|\overrightarrow{OA}|=2$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
在△OAC中，由余弦定理得$|\overrightarrow{OC}{|^2}=|\overrightarrow{OA}{|^2}+|\overrightarrow{AC}{|^2}-2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{AC}|cos∠OAC$=$4+8+2\sqrt{12}+4（\sqrt{3}+1）=\sqrt{4{{（\sqrt{3}+1）}^2}}=2（\sqrt{3}+1）$，
在△OAC中，由正弦定理得$\frac{{|\overrightarrow{AC}|}}{sin∠AOC}=\frac{{|\overrightarrow{OC}|}}{sin∠OAC}$，得$sin∠AOC=\frac{{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{2（\sqrt{3}+1）}}=\frac{1}{2}$
所以渡船的實(shí)際速度與水流速度的夾角$\frac{π}{6}$；                                    
（Ⅱ）由（Ⅰ）知船所走過路程為$\frac{{600（\sqrt{3}+1）}}{sin∠AOC}=1200（\sqrt{3}+1）$
所以渡船過河所需要的時(shí)間$\frac{{1200（\sqrt{3}+1）}}{{2（\sqrt{3}+1）}}=600$s．

點(diǎn)評 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式，以及正弦定理和余弦定理，屬于中檔題