Question

14．球O與銳二面角α-l-β的兩半平面相切，兩切點間的距離為$\sqrt{3}$，O點到交線l的距離為2，則球O的體積為（　　）

• A． $\frac{4π}{3}$
• B． 4π
• C． 12π
• D． $4\sqrt{3}π$

Answer 1

分析 設(shè)OAB平面與棱l交于點C，則△OAC為直角三角形，利用等面積，求出球的半徑，從而可求球的體積．

解答 解：設(shè)OAB平面與棱l交于點C，則△OAC為直角三角形，且AB⊥OC，OC=2

設(shè)OA=x，AC=y，則由等面積可得xy=$\sqrt{3}$
∵x²+y²=4
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$時，∠ACO=30°，∠ACB=60°，滿足題意，球的體積為$\frac{4}{3}$π；
$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$時，∠ACO=60°，∠ACB=120°，不滿足題意，
故選A．

點評 本題考查球的體積，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．