Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，$AB=BC=\frac{1}{2}AD$，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點．
（1）求證：AP∥平面BEF；
（2）求證：GH∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）連接EC，推導出四邊形ABCE是平行四邊形，從而FO∥AP，由此能證明AP∥平面BEF．
（2）連接FH，OH，推導出FH∥PD，從而FH∥平面PAD．再求出OH∥AD，從而OH∥平面PAD，進而平面OHF∥平面PAD，由此能證明GH∥平面PAD．

解答 證明：（1）連接EC，∵AD∥BC，$BC=\frac{1}{2}AD$，
∴BC=AE，BC∥AE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，
∴O為AC的中點．
又∵F是PC的中點，∴FO∥AP，
又∵FO?平面BEF，AR?平面BEF，
∴AP∥平面BEF．
（2）連接FH，OH，
∵F，H分別是PC，CD的中點，∴FH∥PD，
又∵PD?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，
∴FH∥平面PAD．
又∵O是BE的中點，H是CD的中點，
∴OH∥AD，AD?平面PAD，OH?平面PAD，
∴OH∥平面PAD．
又∵FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD，
又∵GH?平面OHF，
∴GH∥平面PAD．

點評 本題考查線面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．