Question

4．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長和底面邊長均為2，D是BC的中點．
    （1）求直線A₁B與C₁D所成角的余弦值；
（2）求三棱錐C₁-ADB₁的體積．

Answer 1

分析 （1）連結A₁C交AC₁于E，連結DE，由三角形中位線性質(zhì)可得∠C₁DE為直線A₁B與C₁D所成的角，然后由已知求解直角三角形得到三角形C₁DE的三邊長，利用余弦定理求得直線A₁B與C₁D所成角的余弦值；
（2）直接利用等積法把三棱錐C₁-ADB₁的體積轉化為三棱錐A-DB₁C₁的體積求解．

解答 解：（1）連結A₁C交AC₁于E，連結DE，
∵D為BC中點，E為A₁C的中點，∴DE∥A₁B，
∴∠C₁DE為直線A₁B與C₁D所成的角．
∵側棱長和低面邊長均為2，
∴${C}_{1}D=\sqrt{5}$，${C}_{1}E=\frac{1}{2}A{C}_{1}=\sqrt{2}$，$DE=\frac{1}{2}{A}_{1}B=\sqrt{2}$，
在△C₁DE中，cos$∠{C}_{1}DE=\frac{D{E}^{2}+{C}_{1}{D}^{2}-{C}_{1}{E}^{2}}{2DE•{C}_{1}D}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$；
（2）∵C₁C⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴C₁C⊥AD，
在正三角形ABC中，D為BC中點，∴AD⊥BC，則AD⊥平面BCC₁B₁，
∴${V}_{{C}_{1}-AD{B}_{1}}={V}_{A-D{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{3}{S}_{△D{B}_{1}{C}_{1}}•AD$=$\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查異面直線所成的角，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．