Question

1．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）最大值為1，則$\frac{2}{a}+\frac{1}$的最小值8．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得a+2b=1，再由基本不等式求最值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立，解得A（1，2）．
化目標(biāo)函數(shù)z=ax+by為y=$-\frac{a}x+\frac{z}$，
由圖可知，當(dāng)直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$過A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為a+2b=1．
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}$=（$\frac{2}{a}+\frac{1}$）（a+2b）=4+$\frac{4b}{a}+\frac{a}$$≥4+2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}=8$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)上式“=”成立．
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}$的最小值為8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．