Question

16．設(shè)f'（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f''（x）是f'（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f''（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．已知：任何三次函數(shù)既有拐點，又有對稱中心，且拐點就是對稱中心．設(shè)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+\frac{8}{3}x+2$，數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n-1007，則$\sum_{i=1}^{2017}{f（{a_i}）}$=（　�。�

• A． 2017
• B． 2018
• C． 8068
• D． 4034

Answer 1

分析 由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得f′′（x）=2x-4，由題意可得函數(shù)的圖象關(guān)于點（2，2）對稱，即f（x）+f（4-x）=2，由數(shù)列{a_n}的通項公式分析可得{a_n}為等差數(shù)列，且a₁+a₂₀₁₇=a₂+a₂₀₁₆=…=2a₁₀₀₉=4，而$\sum_{i=1}^{2017}{f（{a_i}）}$=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₆）+f（a₂₀₁₇），結(jié)合f（x）+f（4-x）=2，計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，三次函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+\frac{8}{3}x+2$，
則f′（x）=x²-4x+$\frac{8}{3}$，
則f′′（x）=2x-4，
若f′′（x）=2x-4=0，則有x=2，
又由$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+\frac{8}{3}x+2$，則f（2）=2，
即（2，2）是三次函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+\frac{8}{3}x+2$的對稱中心，
則有f（x）+f（4-x）=4，
數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n-1007，為等差數(shù)列，
則有a₁+a₂₀₁₇=a₂+a₂₀₁₆=…=2a₁₀₀₉=4
則$\sum_{i=1}^{2017}{f（{a_i}）}$=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₆）+f（a₂₀₁₇）
=f（a₁）+f（a₂₀₁₇）+f（a₂）+f（a₂₀₁₆）+…+f（a₁₀₀₈）+f（a₁₀₁₀）+f（a₁₀₀₉）
=4×1008+2=4034；
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的值，涉及導(dǎo)數(shù)的計算，關(guān)鍵是求出函數(shù)f（x）的對稱中心．