Question

1．已知f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及變形，兩角和的正弦公式化簡解析式，由三角函數(shù)的周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[0，π]求出x+$\frac{π}{4}$的范圍，由正弦函數(shù)的單調性求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調減區(qū)間．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-cosx）=$sin（x+\frac{π}{4}）-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}=2π$；
（2）由x∈[0，π]得，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
由$\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$得，$\frac{π}{4}≤x≤π$，
∴f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調減區(qū)間是$[\frac{π}{4}，π]$．

點評 本題考查了二倍角公式及變形，兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的圖象與性質，考查整體思想，化簡、變形能力．