Question

3．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁D與平面A₁BC₁交于H點，E是DD₁的中點，$\overrightarrow{BF}=3\overrightarrow{FD}$．
（1）求證：EF∥平面A₁BC₁
（2）證明：H為三角形A₁BC₁的重心．

Answer 1

分析 （1）連接B₁D₁交A₁C₁于O，O為A₁C₁的中點，連接AC交BD于O₁，O₁是BD的中點，連接D₁O₁，證明OB∥D₁O₁，證明EF∥OB，即可證明以EF∥平面A₁BC₁
（2）證明BH=2HO，又BO為三角形A₁BC₁的中線，推出H為三角形A₁BC₁的重心．

解答 證明：（1）連接B₁D₁交A₁C₁于O，O為A₁C₁的中點，
連接AC交BD于O₁，O₁是BD的中點，連接D₁O₁，
在長方體中，OD₁∥BO₁且OD₁=BO₁，所以BOD₁O₁為平行四邊形，所以OB∥D₁O₁，
又$\overrightarrow{BF}=3\overrightarrow{FD}$，所以F為DO₁的中點，E為DD₁的中點，所以EF∥D₁O₁
EF∥OB，OB?平面A₁BC₁，EF?平面A₁BC₁，
所以EF∥平面A₁BC₁
（2）在矩形BB₁D₁D中，B₁D∩B₁D=M，M∈B₁D且M∈BO?平面A₁BC₁，
所以M為直線B₁D與平面A₁BC₁的公共點，所以M點就是H點．
又在矩形BB₁D₁D中，三角形B₁OH相似于三角形BDH，
又${B_1}O=\frac{1}{2}BD$，所以BH=2HO，又BO為三角形A₁BC₁的中線，
所以H為三角形A₁BC₁的重心．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，空間點的位置關系，考查空間想象能力以及計算能力．是課本題改編（課本79頁題改編）．