Question

8．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，若f（log₂a）+f（2log${\;}_{\frac{1}{4}}$a）≥2f（-1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，2]．

Answer 1

分析 根據(jù)偶函數(shù)的定義將所給不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式f（log₂a））≥f（-1）=f（1），再利用偶函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于a的不等式，求解即可得到a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，
故f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞增．
若f（log₂a）+f（2log${\;}_{\frac{1}{4}}$a）≥2f（-1），
即f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{4}}$a²）≥2f（-1），即f（log₂a）+f（${log}_{\frac{1}{2}}$a）≥2f（-1），
即f（log₂a）+f（-log₂a）≥2f（-1），即f（log₂a）+f（log₂a）≥2f（-1），
即f（log₂a）≥f（-1）=f（1），-1≤log₂a≤1，∴$\frac{1}{2}$≤a≤2，
故答案為：$[{\frac{1}{2}，2}]$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，易錯(cuò)處是忽略定義域內(nèi)的單調(diào)性不同，即對稱區(qū)間單調(diào)性相反，注意自變量的取值范圍，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．屬于中檔題．