Question

13．已知函數f（x）=-x²+ax+b，且f（4）=-3．
（1）若函數f（x）在區(qū)間[2，+∞）上遞減，求實數b的取值范圍；
（2）若函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，且關于x的方程f（x）=log₂m在區(qū)間[-3，3]上有解，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用函數值以及對稱軸與單調區(qū)間的關系，列出不等式求解即可．
（2）利用對稱軸以及函數值，求出a，b，利用二次函數的閉區(qū)間上的最值，求解即可．

解答 解：（1）∵函數f（x）在區(qū)間[2，+∞）上遞減，∴$\frac{a}{2}≤2$，解得a≤4，
又f（4）=-3，∴b=-4a+13，
∵a≤4，∴b≥-3．
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}=1\\-16+4a+b=-3\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=5.\end{array}\right.$
∴f（x）=-x²+2x+5=-（x-1）²+6，x∈[-3，3]，
∴f（x）_min=f（-3）=-10，f（x）_max=f（1）=6，
∴f（x）在[-3，3]上的值域為[-10，6]，
∴l(xiāng)og₂m∈[-10，6]，即m∈[2^-10，2⁶]，
∴m的最大值為2⁶=64．

點評 本題考查二次函數的簡單性質的應用，對稱軸與單調區(qū)間的關系，考查轉化思想以及計算能力．