Question

7．已知函數(shù)f（x）=sinx，若當x∈[-$\frac{7π}{6}$，-$\frac{π}{3}$]時，m≤f（x）≤n恒成立，則n-m的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$

Answer 1

分析 由正弦函數(shù)的性質(zhì)，分段求得函數(shù)的值域，結(jié)合m≤f（x）≤n得到m，n的范圍，從而可求出n-m的最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sinx在x∈[-$\frac{7π}{6}$，$-\frac{π}{2}$]上為減函數(shù)，在[$-\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$]上為增函數(shù)，
∴當x∈[-$\frac{7π}{6}$，$-\frac{π}{2}$]時，f（x）∈[-1，$\frac{1}{2}$]；當x∈[$-\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$]時，f（x）∈[-1，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
∴當x∈[-$\frac{7π}{6}$，-$\frac{π}{3}$]時，函數(shù)的值域為[-1，$\frac{1}{2}$]．
∵當x∈[-$\frac{7π}{6}$，-$\frac{π}{3}$]時，m≤f（x）≤n恒成立，
∴m≤-1，n≥$\frac{1}{2}$．
則n-m的最小值是$\frac{1}{2}-（-1）=\frac{3}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了三角函數(shù)的最值，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．