Question

20．若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時，f（x）=x²+2x．
（1）寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+（4-2a）x+2（x∈[1，2]），求函數(shù)g（x）的最小值h（a）．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的奇偶性曲線函數(shù)的解析式即可．
（2）利用分段函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，通過分類討論求解函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）設(shè)x＞0，則-x＜0．又因為當(dāng)x≤0時，f（x）=x²+2x，
所以f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，又因為f（-x）=f（x）．
所以x＞0時，f（x）=x²-2x．
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{{x}^{2}-2x，x＞0}\end{array}\right.$．
（2）函數(shù)g（x）=f（x）+（4-2a）x+2（x∈[1，2]），f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{{x}^{2}-2x，x＞0}\end{array}\right.$．
∴g（x）=x²+2（1-a）x+2．x∈[1，2]，
①當(dāng)a-1≤1時，即a≤2，g（x）_min=g（1）=5-2a
②當(dāng)1＜a-1＜2時，即2＜a＜3，g（x）_min=g（a-1）=-a²+2a+1
③當(dāng)a-1≥2時，即a≥3，g（x）_min=g（2）=10-4a
綜上：h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{5-2a，a≤2}\\{-{a}^{2}+2a+1，a∈（2，3）}\\{10-4a，a≥3}\end{array}\right.$．

點評 本題考查的知識要點：函數(shù)的奇偶性，利用奇偶性求函數(shù)的解析式，利用分類討論思想求函數(shù)的最值