Question

8．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F（-c，0），離心率為e，橢圓過點P（-2，3）與Q（$\frac{2}{e}$，0）．
（1）求此橢圓的方程；
（2）設經(jīng)過點P的直線與圓O：x²+y²=28的交點為M、N，若PF=PM，求PN的長；
（3）設不經(jīng)過點P的直線l：y=kx+m與橢圓E交于兩點A、B，記直線PA與PB的斜率分別為k₁、k₂，且4k₁k₂+3=0，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓性質列方程解出a，b，c即可得出橢圓方程；
（2）利用垂徑定理列方程得出O到直線MN的距離，再根據(jù)對稱性得出PN；
（3）聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關系表示出k₁、k₂，列方程化簡整理得出m．

解答 解：（1）∵橢圓過Q（$\frac{2}{e}$，0），∴a=$\frac{2}{e}$=$\frac{2a}{c}$，∴c=2，
則a²=b²+c²=b²+4，
將P（-2，3）代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{^{2}+4}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
解得：b²=12，a²=16，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）如圖，過O作OG⊥MN，垂足為G，設PG=x，
∵OP²=13，OM²=28，PM=PF=3，
∴28-（3+x）²=13-x²，即x=1．
∴PN=PG+GN=PG+PG+PM=2PG+PM=2×1+3=5；
（3）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，消元得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$．
${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m=\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=$\frac{3{m}^{2}-48{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
又P（-2，3），∴${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}+2}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{2}-3}{{x}_{2}+2}$，
∵4k₁k₂+3=0，∴k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，
即$\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}+2}•\frac{{y}_{2}-3}{{x}_{2}+2}$=-$\frac{3}{4}$，
即$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-3（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}{{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$=-$\frac{3}{4}$，
∴4y₁y₂-12（y₁+y₂）+36+3x₁x₂+6（x₁+x₂）+12=0，
∴12•$\frac{{m}^{2}-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$-72•$\frac{m}{3+4{k}^{2}}$+48+12•$\frac{{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-48•$\frac{km}{3+4{k}^{2}}$=0，
整理得：m=2k+3．

點評 本題考查了橢圓的性質，直線與圓，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．