Question

5．已知函數(shù)$f（x）=4cos（{x-\frac{π}{2}}）•sin（{x-\frac{π}{3}}）-1$．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列，求f（B）的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得f（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用周期公式即可計(jì)算得解．
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：b²=ac，由余弦定理可求cosB$≥\frac{1}{2}$，可得范圍$0＜B≤\frac{π}{3}$，進(jìn)而可求范圍$2B+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求$f（B）=-2sin（{2B+\frac{π}{6}}）∈[{-2，-1}]$，即可得解．

解答 解：（1）$f（x）=4sinx（{\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx}）-1=-（{1-2{{sin}^2}x}）-2\sqrt{3}sinxcosx$=$-cos2x-\sqrt{3}sin2x=-2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．
可得：函數(shù)y=f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}$．
（2）因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，可得：b²=ac，
在△ABC中，由余弦定理有：$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-ac}}{2ac}≥\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，
又由0＜B＜π，得$0＜B≤\frac{π}{3}$．
又$f（B）=-2sin（{2B+\frac{π}{6}}）$，
由$0＜B≤\frac{π}{3}$，得$2B+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，
則$sin（{2B+\frac{π}{6}}）∈[{\frac{1}{2}，1}]$，
故$f（B）=-2sin（{2B+\frac{π}{6}}）∈[{-2，-1}]$，
故f（B）的取值范圍是[-2，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，余弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．