Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+（{a+1}）x+2a，（{x＞0}）\\{log_a}（{x+1}）+1，（{-1＜x≤0}）\end{array}\right.$，（a＜0，a≠1），若函數(shù)y=|f（x）|在$[{-\frac{1}{3}，+∞}）$上單調(diào)遞增，且關(guān)于x的方程|f（x）|=x+3恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則a的取值范圍為（　�。�

• A． $[{\frac{3}{2}，2}）$
• B． $（{1，\frac{3}{2}}]∪\left\{{2，6}\right\}$
• C． {2，6}
• D． $[{\frac{3}{2}，\frac{5}{3}}]$

Answer 1

分析 由題意求出a的范圍，再畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形可得y=x+3與y=x²+（a+1）x+2a的圖象有一個(gè)切點(diǎn)，再由判別式等于0求得a的范圍．

解答 解：由$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+（{a+1}）x+2a，（{x＞0}）\\{log_a}（{x+1}）+1，（{-1＜x≤0}）\end{array}\right.$，（a＞0，a≠1），且y=|f（x）|在$[{-\frac{1}{3}，+∞}）$上單調(diào)遞增，
可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a+1}{2}≤0}\\{a＞1}\\{lo{g}_{a}（1-\frac{1}{3}）+1≥0}\\{1≤2a}\end{array}\right.$，解得a$≥\frac{3}{2}$．
∵關(guān)于x的方程|f（x）|=x+3恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，
∴作出函數(shù)圖象大致形狀如圖：

∵x＞0，∴x²+（a+1）x+2a＞2a＞3，
直線y=x+3與y=log_a（x+1）+1必有一個(gè)交點(diǎn)，
∴要使關(guān)于x的方程|f（x）|=x+3恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，
則聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y={x}^{2}+（a+1）x+2a}\end{array}\right.$，得x²+ax+2a-3=0．
∴△=a²-4（2a-3）=a²-8a+12=0，解得a=2或a=6．
∴a的取值范圍為{2，6}．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．