Question

14．已知Ω是集合{（x，y）|0≤x≤6，0≤y≤4}所表示圖形邊界上的整點（橫、縱坐標都是整數(shù)的點）的集合，集合D={（6，0），（-6，0），（0，4），（0，-4），（4，-4），（-4，4），（2，-2），（-2，2）}．規(guī)定：
（1）對于任意的a=（x₁，y₁）∈Ω，b=（x₂，y₂）∈D，a+b=（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（x₁+x₂，y₁+y₂）
（2）對于任意的k∈N^*，序列a_k，b_k滿足：
①a_k∈Ω，b_k∈D
②a₁=（0，0），a_k=a_k-1+b_k-1，k≥2，k∈N^*
（Ⅰ） 求a₂
（Ⅱ） 證明：?k∈N^*，a_k≠（5，0）
（Ⅲ） 若a_k=（6，2），寫出滿足條件的k的最小值及相應的a₁，a₂，…，a_k．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)新定義即可求出a₂=（6，0）或（0，4），
（Ⅱ）利用反證法即可證明，
（Ⅲ）由新定義可得k_min=5，相應的a₁，a₂，…，a_k．

解答 解：（Ⅰ）對于任意的b=（x₂，y₂）∈D，a₁+b=（0，0）+（x₂，y₂）=（x₂，y₂）
若（x₂，y₂）∈Ω，則（x₂，y₂）=（6，0），或（x₂，y₂）=（0，4），
故a₂=（6，0）或（0，4），
（Ⅱ） 證明：假設命題不成立，即?k∈N^*，使a_k=（5，0）
即?b_i∈D，i=1，2，…，k-1（k≥2），使a₁+$\sum_{i=1}^{k-1}_{i}$=a_k，化簡得$\sum_{i=1}^{k-1}_{i}$=（5，0），
所以存在m，n，p∈Z，且m+n+p=k-1，使6m+4n+2p=5．
又因為6m+4n+2p=2（3m+2n+p）是偶數(shù)，而5是奇數(shù)，與6m+4n+2p=5矛盾，
故假設不成立，即：?k∈N^*，a_k≠（5，0），
（Ⅲ）k_min=5，a₁=（0，0），a₂=（0，4），a₃=（4，0），a₄=（4，4），a₅=（6，2）．

點評 本題考查了新定義的知識的應用，關鍵是讀懂新定義，以及反證法，屬于中檔題．